Polynomdivision mit LaTeX

Für die Polynomdivision und verwandte Themen rund um Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten gibt es ein äußerst nützliches LaTeX-Package von Carsten Heinz, jetzt betreut von Hendri Adriaens. Wer irgendwann mal versucht hat, den kompletten Rechengang eines euklidischen Algorithmus in Z[X], eine Polynomdivision oder das Hornerschema mit ganzzahligen Koeffizienten mittels LaTeX aufzuschreiben, wird den Verfassern dieses Polynom-Packages sehr dankbar sein: sie haben ein wunderbares Instrument geschaffen, mit dem man alle drei genannten Themen in eleganter Weise angehen kann. Die Doku zu diesem Package findet man auf der Seite http://ctan.org/pkg/polynom.

Wie üblich muß man am Anfang des LaTeX-Programms das Package einbinden:

    \usepackage{polynom}

Danach kann es losgehen. Wir probieren es zunächst mit der

Polynomdivision

    \polyset{style=C, div=:,vars=x}
    \polylongdiv{2x^5 - 13x^4 + 17x^3 - x^2 + 10x  + 8}{2x^2 - 3x}

Das besondere an diesem Paket: es führt die Polynomdivision auch wirklich durch!
Voraussetzung ist, daß alle Polynome ganzzahlige Koeffizienten haben, also Elemente
des Polynomringes Z[X] sind.
Das Ergebnis des obigen Befehls sieht so aus:

Wenn man den style auf „B“ setzt, wird der Divisor auf die rechte Seite der Gleichung geschrieben:

    \polyset{style=B, div=:,vars=x}
    \polylongdiv{2x^5 - 13x^4 + 17x^3 - x^2 + 10x  + 8}{2x^2 - 3x}

Und das sieht dann so aus:

Wichtig ist, daß man die Variablen genau so schreibt, wie man es in der Definition „vars=“ vereinbart hat.
Stimmen diese Zeichen nicht überein, so kommt LaTeX ziemlich durcheinander – bei mir z.B. hing „kile“ unter SuSe-Linux in einer Endlosschleife.

Als nächstes schauen wir uns die

Berechnung des ggT zweier Polynome über Z[X]

an.
Auch hierfür bietet das Polynom-Package Befehle an:

Gegeben seien die Polynome $$f(x) = x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1 $$ sowie $$g(x)=x^3 + x^2 - x - 1$$.,

Dann wird der  ggT(f,g) durch folgende Rechnung ermittelt:

\medskip
\polylonggcd { x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1}{x^3 + x^2 - x - 1}

Und das ergibt dann in der Ausgabe:

Man sieht hier sehr schön, wie der euklidische Algorithmus Zeile für Zeile durchgeführt wird.
Der ggT der beiden Ausgangspolynome ist dann wie üblich der letzte von Null verschiedene Rest, in diesem Falle 4/9(x – 1) bzw (x – 1), da der ggT in Z[X] nur bis auf einen konstanten Faktor aus Z eindeutig ist.
Ergänzend sei hier noch darauf hingewiesen, daß das Polynom-Package auch Befehle zur Ermittlung von Polynomwerten bereitstellt, m.a.W. das Horner-Schema mittels LaTeX darstellen kann. Die Implementierung dieses Algorithmus ist insbesondere für Mathematik-Lehrer interessant, da man die einzelnen Rechenschritte getrennt ausgeben kann.