Wie man einen maximal langen Stock durch eine Röhre schiebt

Über diese Frage durfte ich mir im Abitur 1966 den Kopf zerbrechen. Da wir damals als Leidtragende zweier Kurzschuljahre nicht denselben Kenntnisstand wie unsere Vorjahresabiturienten hatten, waren die Aufgaben in diesem Jahr entsprechend einfacher.

In der Lösung der Aufgabe wird über weite Strecken zunächst versucht, das „Schieben einer Strecke bzw. eines Stockes durch eine Röhre“ mathematisch exakt zu beschreiben. Dabei ist die Röhre so wie oben in der Abbildung vorgegeben, d.h. sie besteht aus drei Rechtecken: A, B und C. Diese entstehen durch die Vorgabe des Punktes P=(a,b), durch den jeweils Parallelen zu den Koordinatenachsen gezogen werden.

Die vollständige Lösung findet man in diesem PDF-File:
Abitursaufgabe 1964

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4 Antworten zu Wie man einen maximal langen Stock durch eine Röhre schiebt

  1. Erwin schreibt:

    Soll man nicht glauben, dass diese Berechnung auch bei den täglichen Verrichtungen im Haushalt hilfreich ist.

    Das dargestellte Problem beispielsweise stellt sich mir jedesmal dann, wenn ich meine Wäschespinne aus dem Keller (entspricht Rechteck C) über einen engen Flur (entspricht Rechteck A) in den Garten bugsieren will. An Rechteck B musste ich bisher jedesmal lange rangieren, um ohne Beschädigung des Putzes die Kurve zu kriegen. Dank dieses Artikels bin ich nun in der Lage, eine exakte Berechnung vorzunehmen und kann auf zeitraubende Versuche verzichten. 😉

  2. Rüdiger schreibt:

    Und hier noch die Lösung meines Vaters (Abitur 1955). Das ist im wesentlichen die Lösung, die Sie auch in Ihrem pdf beschreiben, nur kurzgefasst:

    „Wenn man den Winkel, den der Stock bei kritischen Position mit der senkrechten Schachtwand bildet und zugleich den waagerechten Schachtgrund und die obere Ecke, wo der senkrechte Schacht waagerecht wird, berührt, als Variable = x nimmt, dann ist die Stocklänge = L = 2/cosx + 3/sinx. Bei L‘ = 0 müßte sich der gesuchte Winkel (etwas über 45°) ergeben, bei dem L am kleinsten ist. Das ist dann die größte Stocklänge, die durchgeht.“

    Die langweiligen Rechendetails hat er ausgelassen, hier die Ergänzung:
    d(2/cosx+3/sinx)/dx = 2sinx/cos^2x – 3cosx/sin^2x Nullsetzen ergibt tanx = (3/2)^(1/3), Der Winkel ist ca. 48°, und die Länge ungefähr 7.02.

    Sein Lösungsweg ist zwar sehr kurz, aber dafür fehlen einige Argumente. Ihr pdf hat schon seine Berechtigung. Der lapidare Satz „Das ist dann die grösste Stocklänge, die durchgeht“, ist zwar wahr, bedarf aber einer Begründung.

  3. Rüdiger schreibt:

    Ein an einer Wand hinabgleitender Stock wird bekanntlich von einer Astroide eingehüllt (x^(2/3)+y^(2/3)=L^(2/3), wobei L die Länge des Stocks ist – Beweis siehe z.B. bei Wolfram http://mathworld.wolfram.com/Astroid.html ).

    Die einzige Astroide, die den Punkt P(2,3) enthält, ist die zu L = ((2^(2/3)+3^(2/3))^(3/2) = ungefähr 7.02. Dies ist die Länge des gesuchten Stocks: Längere Stöcke ergeben beim Hinabgleiten Astroiden, die in den verbotenen Bereich (x>2 und y>3) hineinragen.

  4. Positron schreibt:

    Interessant, wir hatten im Abitur überhaupt keine Beweise führen müssen. Im Studium ist mir dies dann ziehmlich auf die Füße gefallen….

    Es scheint so als wäre das Abiturniveau deutlich gesunken.

    MfG Positron

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