Übung macht den Meister

([3] Download des PDF-Files mit den Berechnungen)In der Mathematik ist es ähnlich wie in der Musik: Übung macht den Meister. Hat man ein Kapitel in einem Mathematikbuch durchgelesen, so beginnt die eigentliche Arbeit: je nach Autor und Thema werden zwischen 10 und 50 Übungsaufgaben angeboten, die es zu lösen gilt. Wer das nicht macht, wird das Gelernte nie anwenden können. Auch später, wenn man den schleichenden Verdummungsprozeß des beruflichen Alltags in der Industrie (in meinem Falle: der Softwareindustrie) hinter sich hat, möchte man die eigenen grauen Zellen gerne wieder in Schwung bringen und greift sich dann aus den ersten 100 Seiten eines der Bücher, die schon lange darauf warten, endlich mal ganz durchgearbeitet zu werden, eine Aufgabe heraus, die man gerade noch so versteht. Z.B. auf Seite 100 von Klaus Fritzsches Buch Grundkurs Analysis 1 die folgende Aufgabe:

Es soll der Grenzwert der Folge

berechnet werden. Na, wenn das nichts ist! Für den Zähler gibt es sicher irgendeine nette Formel in Abhängigkeit von n, dann muß man nur noch durch n3 dividieren und schon kennt man den Grenzwert. Die Frage ist nur: wie lautet denn diese nette kleine Formel für den Zähler von an? In seinen Lösungen macht es sich Fritzsche leicht: er benutzt ein Ergebnis einer früheren Aufgabe, wo mittels vollständiger Induktion gezeigt wurde, daß

gilt.

Aber darauf muß man auch erst mal kommen. Beweise per vollständiger Induktion setzen ja immer voraus, daß man auch eine Behauptung aufstellen kann, die es zu beweisen gilt. Wie könnte man also intuitiv auf diesen Ausdruck kommen?

Nun, da hilft nur eins: nachdenken, nachrechnen und sich erinnern, welche Tricks man im Studium gelernt hatte (siehe [3]). Und in der Tat war da mal so ein Trick, der in diesem Fall weiterhelfen kann: das Prinzip der Teleskopsummen. Mit diesem Trick kann man nach ein wenig Rechnerei ziemlich schnell die Formel

beweisen. Und da das so einfach zu berechnen war, könnte man ja auch dasselbe mal für höhere Potenzen versuchen und bekommt dann folgende Formeln:

Spätestens aber ab der vierten Potenz wird die ganze Sache doch sehr unangenehm. Es sind Binomialkoeffizienten, Summen und Produkte zu berechnen, die Anzahl der Summanden wird immer größer, und immer häufiger verrechnet man sich, wie man am Ende nach einer Probe feststellt. Also wäre es besser, das ganze mit einem Computerprogramm zu erledigen, aber gibt es nicht auch einen genialen – also einfachen – Trick, um eine allgemeingültige Formel zu finden? Hat vielleicht jemand vor ein paar Hundert Jahren dieses Problem schon einmal ohne Computer gelöst? Die Antwort lautet: ja. Es war der deutsche Mathematiker, Ingenieur und Festungsbaumeister Johannes Faulhaber (Bild siehe oben), der sich u.a. mit Summen über Potenzen natürlicher Zahlen bis zum Exponenten 17 beschäftigte. Faulhaber, der natürlich keinerlei Computer zur Verfügung hatte, muß ein extrem guter Rechner gewesen sein. In seinem Buch Academia Arithmeticae (1631 in Augsburg veröffentlicht) hat er folgende Formeln aufgeschrieben:

Faulhaber vermutete, daß für jeden ungeraden Exponenten m eine solche Formel existiert, in der auf der rechten Seite ein Polynom in N steht mit abwechselnden Vorzeichen. Erst 200 Jahre später gelang einem anderen Mathematiker der erste Beweis der Faulhaberschen Vermutung (1834 Jacobi). Allerdings benutzten Jacobi und alle anderen Mathematiker, die sich mit der Faulhaberschen Vermutung beschäftigten, Methoden, die zu Zeiten Faulhabers noch unbekannt waren. Es ist das Verdienst von Donald Knuth, dem Erfinder von TeX, einen Beweis gefunden zu haben, der mit Methoden arbeitet, die wahrscheinlich auch schon Faulhaber kannte. Wer sich dafür interessiert, sollte Knuths Artikel Johann Faulhaber and Sums of Powers in den Mathematics of Computation 61 (1993),Seite 277-294, lesen.


Anmerkungen und Links

[1] Wikipedia über Johanness Faulhaber
[2] D. E. Knuth, Johann Faulhaber and Sums of Powers, Mathematics of Computation 61 (1993),277-294
[3] Summen von Potenzen

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